1º E.S.O

GEOMETRÍA

1.ELEMENTOS EN EL PLANO.

    

       1.1 Elementos básicos en el plano.

-Semirrecta: es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por un punto. Una semirrecta tiene principio, pero no fin. 

 

 -Segmento: es la parte de una recta comprendida entre dos puntos A y B. Los puntos A y B son los extremos del segmentos.Un segmento tiene principio y fin. Se representa por AB.

 

1.2. Posiciones relativas de dos rectas en el plano.

-Secantes: dos rectas son secantes si tienen un solo punto en común. Un caso particular de redctas secantes son las rectas perpendiculares, que forman cuatro ángulos iguales al cortarse.

 Rectas secantes

Rectas perpendiculares

 

-Paralelas: dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común.

 

-Coincidentes: dos rectas son coincidentes cuando todos los puntos de dos rectas son comúnes.

1.3. Ángulos.

- Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas que tinen origen común, se representan por AOB.

- El vértice de un ángulo es el punto común O de las dos semirrectas.

-Los lados del angulo lo forman las semirrectas OA y OB.              

 1.4. Medida de ángulos.

 Los ángulos se miden en grados , minutos y segundos.

 - Un grado es lo que mide el ángulo que resulta al dividir un ángulo, cuyo lados sean perpendiculares, en 90 partes iguales y tomar una. Se representan por º.

- Un minuto es el ángulo que resulta al dividir un ángulo de un grado en 60 partes iguales y tomar una.  '

1º=60'

- Un segundo es el ángulo que resulta al dividir un ángulo de un minuto en 60 partes iguales y tomar una.

1'=60"

2. OPERACIONES CON ÁNGULOS.

2.1. Suma de ángulos

 Se suma de la siguiente manera:
-Se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.
-Se comienza sumando los segundos. Si los segundos resultantes suman más de 60", se dividen entre 60, el cociente se añade a los minutos y el resto son los segundos.
-Se hace lo mismo con los minutos.

2.2. Resta de ángulos
Se resta de la siguiente manera:
-Los grados, minutos y segundos se colocan de la misma forma que en la suma.
-Se comienza restando los segundos. si el minuendo en menor que el sustraendo, se pasa un minuto a segundos para poder hacer la resta. 
-Se hace lo mismo con los minutos.

2.3. Multiplicación de ángulos por un número.
Se multiplica de la siguiente manera:
-Se multiplica el numero por los segundos, minutos y grados, respectivamente.
-Si los segundos pasan de 60", se dividen entre 60. El resto son segundos, y el cociente son minutos, que se suman a los minutos. 

 - Si los minutos pasan de 60', se dividen entre 60. El resto son minutos, y el cociente son grados, que se suman a los grados.

2.4 División de un ángulo entre un número
Se divide de la siguiente manera:
-Se comienza dividiendo los grados entre el número. 
-El resto de los grados se pasa a minutos multiplicando por 60, y estos se suman a los minutos del dividendo.
-Se dividen los minutos entre el número.
-El resto de los minutos se pasa a segundo multiplicando por 60, y estos se suman a los segundos del dividendo.
-Se dividen los segundos entre el número.


 3.CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS 

  3.1.Clases de ángulos según la abertura

Un ángulo es agudo cuando su medida es de entre 0º y 90º.
Un ángulo es recto si mide 90º.
Un ángulo es obtuso cuando mide entre 90º y 180º.
Un ángulo es llano si mide 180º.
Un ángulo es completo si mide 360º.  
Un ángulo es nulo cuando sus lados son dos semirrectas coincidentes con una abertura de 0º.

ángulo completo

 

    

  



3.2. Ángulos convexos y cóncavos

Un ángulo es convexo si mide entre 0º y 180º.

Un ángulo es cóncavo si mide entre 180º y 360º.

 

3.3. Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice

Dos ángulos son complementarios si entre los dos suman 90º.

Dos ángulos son suplementarios si entre los dos suman 180º.

Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen un vértice común y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro. Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. 
Dos ángulos son consecuivos cuando tienen en común el vértice y un lado.
Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado común y forman entre lso dos un ángulo llano.

 



4. TRIÁNGULOS 

4.1.Construcción de triángulos.

Se estudian tres casos:
-Construir un triángulo conocidos los tres lados:
a) Para poder construir un tiángulo con tres lados conocidos: la longitud del lado mayor debe medir menos que la suma de los otros lado.
1º- Se dibuja el segmente que representa el lado a. 
2º- Sobre los extremos que son does vértices, se dibujan arcos de circunferencia con radios iguales a la longitud del los lados b y c respectivamente. El punto de corte es el otro vértice. 

 

 b) Para construir un tiángulo conocidos dos lados y el ángulo que forman:
1º- Se di buja el segmento que representa el lado a.
2º- Desde un extremo o vértice C del triángulo se levanta el ángulo conocido.
3º- Se lleva el lado B desde este lado del angulo
4º- Se unen los extremos de los lados a y b.

 

c)Para construir un triángulo conocido un laado y dos ángulos contiguos: la suma de los dos ángulos deb ser menor que 180º.

1º- Se dibuja el segmento que representa el lado a.  

2º- Desde los extremos o vértices sse levantan los ángulos conocidos, el punto de corte ntersección es el tercer vértice.  

4.2.Mediana y altura de un tiángulo
La mediana el el ssegmento que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto.
El baricentro el el unto en el que cortan todas las medianas, se representa con la letra G 

 

 La altura de un triángulo es el segmento perpendicular desde el vertice al lado opuesto o asu prolongación.

El ortocentro el el punto donde se cortan las tres alturas.

 

4. 3. mediatriz y bisectriz de un triángulo.

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al punto medio del segmento.

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide el ángulo en dos ángulos iguales.

 

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a sus lados que pasan por sus puntos medios.

El circuncentro de un triángulo es el punto de corte de las tres mediatrices, esta a la misma distancia de los tres vértices.

La bisectriz de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos.

El incentro de un triángulo es elpunto donde se cortan las tres bisectrices, esta ala misma distancia de los tres lados.

4.4. Teorema de Pitágoras. 

  El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado. 

4.5. Ternas pitagóricas.

Las ternas pitagóricas son conjunto de numeros que cumplen el teorema de Pitágoras. 

                                  Ej: 3,4,5 --> 9+16=25

4.6 Clasificación de triángulos.
4.6.1. Según la longitud de sus lados.
     -Equilateros: los tres lados tienen la misma longitud, por ello los tres ángulos son iguales.
     - Isosceles: tienen dos ángulos y dos lados iguales.
     - Escalenos: los tres ángulos y lados son distintos.
4.6.2. Según la medida de sus ángulos.
      - Acutángulos: tienen los tres ángulos agudos.
      - Rectángulos: uno de los ángulos es recto.
      - Obtusángulos: uno de los ángulos es obtuso.