2ºE.S.O

1.SEMEJANZA Y TRIÁNGULOS.
1.Semejanza
-Dos figuras son semejantes cuando son iguales en forma, pero tienen diferentes medidas.

-Dos figuras son semejantes si los lados que las componen son proporcionales. A esta proporción se le llama razón de semejanza.
Ej.
 

2.Escala.

Es la relacción de proporcionalidad que utilizamos en los mapas, planos y maquetas.

Cuando decimos que un mapa está hecho a escala 1:m queremos decir que cada unidad que midamos en el papel representa m unidades en la realidad.

Ej.Sabemos que la distancia Madrid-Alicante son 430Km. si en un mapa hemos medido la distancia y ers de 43 cm, ¿Cual es la escala utilizada para diseñar el mapa?

tenemos que pasar los Km a cm y dividir: 

430km x 100.000= 43.000.000 cm

Escala=43.000.000/43= 1.000.000 

Escala =1:1.000.000

3.Teorema de tales.

 Tenemos 3 rectas paralelas a,b y c que cortan a otras 2, r y s, formando varios segmentos. De tal manera que los segmentos generados en una de las rectas sn proporcionales a los generados en la otra.

 

3.1.Aplicación del teorema de Tales

 a) Representamos el segmento a dividir.

b) Construimos una semirrecta con el extremo en a o b. Marcamos en esta semirrecta tantas partes iguales como queramos dividir el segmento.

c) Unimos la última marca a el extemo del otro segmento.

d) Trazamos lineas paraleas al segmento antes unido.

 

 

3.2. Triángulos en posición de Tales

 Dos triángulos están en posición de Tales si tienen un ángulo común y los lados opuestos a este son paralelos.

 

4.Triángulos semejantes

4.1 lados proporcionales

 Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales.

a'/a = b'/b = c'/c

4.2. Ángulos iguales

Dos triánglos son semejantes solo si tienen sus tres ángulos correspondientes iguales.
A=A'   B= B'  C=C'

4.3. Dos lados proporcionales y el ángulo que forman igual

Dos triángulos son semejantes solo si tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman es igual.
a'/a=c'/c  Ángulo de B es igual a ángulo de B'

4.4. Triáungulos rectángulos semejantes 

-Dos triángulos rectángulos son semejantes si: 
-Tienen un ángulo agudo igual. Si tiene el ángulo recto común y un ángulo agudo con la misma medida los triángulos son semejantes 
-Si tienen los catetos proporcionales el ángulo que forma ( el recto) es igual, los triángulos semejantes.
-Ser un cateto y la hipotenusa proporcionales como el otro cateto  forma de ángulo recto en el triángulo correspondiente lo podemos poner en posición de Tales pues los dos catetos desconocidos son paralelos por tanto los triángulos son semejantes.

5. Construccción de polígonos semejantes 

 Dos polígonos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales.
Los pasos siguinetes son:
1. desde un punto fijo O exterior al polígono trazamos rectas que pasan por todos los vertices del polígono.
2. Multiplicamos la razón de semejanza que estemos considerando por la longitud de uno de los segmentos, por ejemplo OA, y el resultado lo marcamos en la misma recta, A'.
3. Trazamos una paralela a AB por A' hasta llegar a la recta correspondiente y marcamos asi B'.
4. Repetimos este proceso para el resto de los vertices 
 
   

    6.Teorema de pitagoras

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado.
                                                      



6.1. Aplicación del teorema de pitágoras 

 -Calcular la hipotenusa conocidos dos catetos:

Despejamos la hipotenusa de la fórmula del teorema de pitágoras 
                                                        

a² + b² = c²

5² + 12² = c²

25 + 144 = 169

c² = 169

c = √169

c = 13

-Calcular un cateto conocidos el otro cateto y la hipotenusa

 

a² + b² = c²

9² + b² = 15²

81 + b² = 225

b² = 144

b = √144

b = 12